Question

4．已知關(guān)于x的方程3cos²x+2sinx+a-4=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，則a的取值范圍為$（\frac{2}{3}，1]$．

Answer 1

分析 將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用換元法，轉(zhuǎn)化成二次方程，利用根的分布即可得到答案．

解答 解：由3cos²x+2sinx+a-4=0
可得：3sin²x-2sinx+1-a=0
設(shè)sinx=t，∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴0≤t≤1
則有：f（t）=3t²-2t+1-a
根據(jù)一元二次方程根的分布，0≤t≤1兩個(gè)不同的解：
有：$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-12（1-a）＞0}\\{1-a≥0}\\{3-2+1-a≥0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{2}{3}＜a≤1$
故答案為$（\frac{2}{3}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化思想，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的解，可以利用一元二次方程根的分布解題．屬于中檔題．