Question

某學校設(shè)計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性抽取3道題，規(guī)定至少正確完成其中2道題便可通過，已知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道不能完成；考生乙正確完成每道題的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求甲正確完成的題數(shù)ξ的分布列及期望；求乙正確完成的題數(shù)η的分布列及期望；
（2）請用統(tǒng)計知識分析比較兩名考生這門學科的水平．

Answer 1

分析：（1）隨機變量ξ的所有可能值為1，2，3，且P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（2）變量η的所有可能值為0，1，2，3，且P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k•(

1

3

)3-k，D（ξ）=（2-1）²×

1

5

+（2-2） 2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，D（η）=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

，所以，從統(tǒng)計的角度可以判斷考生甲這門學科的水平更好．

解答：解：（1）隨機變量ξ的所有可能值為1，2，3，
且P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

所以E（ξ）=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
隨機變量η的所有可能值為0，1，2，3，且P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k•(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3，
所以P（η=0）=

C

0 3

(

2

3

)0(

1

3

)3=

1

27

，
P（η=1）=

C

1 3

(

2

3

)1(

1

3

)2=

6

27

，
P（η=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)1=

12

27

，
P（η=3）=

C

3 3

(

2

3

)3(

1

3

)0=

8

27

，
∴η的分布列為

η	0	1	2	3
P	1 27	6 27	12 27	8 27

所以E（η）=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．
（2）由于隨機變量ξ，η的期望相同，所以考慮隨機變量ξ，η的方差，
D（ξ）=（2-1）²×

1

5

+（2-2） 2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，
D（η）=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

，
∴D（ξ）＜D（η），所以，從統(tǒng)計的角度可以判斷考生甲這門學科的水平更好．

點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．