Question

（2007•無(wú)錫二模）已知函數(shù)f(x)=cos2ωx+sinωxcosω-

1

2

(ω＞0)最小正周期為π．
（1）求f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

8

]上的最小值；
（2）求函數(shù)f（x）圖象上與坐標(biāo)原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)周期公式求ω的值，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的最值及取得最值的條件；
（2）根據(jù)（1）中求的函數(shù)的解析式，令2x+

π

4

=kπ，解出x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，令k分別取0，1，比較大小，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=cos2ωx+sinωx•ωx-

1

2

=

1

2

(cos2ωx+1)+

1

2

sin2ωx-

1

2

=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
∵當(dāng)-

π

2

≤x≤

π

8

時(shí)，-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

．
∴當(dāng)2x+

π

4

=-

π

2

時(shí)，f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)取得最小值為-

2

2

．
（2）令2x+

π

4

=kπ，得x=

kπ- π 4

2

=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=-

π

8

，當(dāng)k=1時(shí)，x=

3π

8

，
∴滿足要求的對(duì)稱中心為(-

π

8

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式把不同名的三角函數(shù)含為一個(gè)角的三角函數(shù)，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性及周期公式，函數(shù)的最值的求解．屬中檔題．