Question

【題目】如圖所示，三棱柱中，，、分別是、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若平面，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）證明出平面，并設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）取的中點(diǎn)，連接、，

在中，、分別是、的中點(diǎn)，

則，且，

又為的中點(diǎn)，，所以，，

從而有且，所以四邊形為平行四邊形，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，因此，平面；

（2）因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，

又平面，得，

又因?yàn)?/span>，所以平面，從而，

又因?yàn)?/span>，，所以平面，從而有，

不妨設(shè)，，，所以.

由（1）知，所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，則.

平面的法向量為，所以，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.