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14.設a,b∈R,且a≠2,定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)fx=lg1+ax1+2x是奇函數(shù)
(1)求實數(shù)b的取值范圍;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明.

分析 (1)利用奇函數(shù)的定義,求出a,可得函數(shù)的解析式,即可求實數(shù)b的取值范圍;
(2)利用導數(shù)的方法,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解答 解:(1)∵定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)fx=lg1+ax1+2x是奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),化簡可得a2x2=4x2,
∵a≠2,∴a=-2,
∴f(x)=lg12x1+2x,
12x1+2x>0,可得-12x12,
∴-12bb12,
∴b∈(0,12];
(2)y=12x1+2x,則y′=21+2x212x1+2x2=41+2x2<0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-b,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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