Question

14．設(shè)a，b∈R，且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)$f（x）={lg^{\frac{1+ax}{1+2x}}}$是奇函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，求出a，可得函數(shù)的解析式，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的方法，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)$f（x）={lg^{\frac{1+ax}{1+2x}}}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），化簡(jiǎn)可得a²x²=4x²，
∵a≠2，∴a=-2，
∴f（x）=lg$\frac{1-2x}{1+2x}$，
由$\frac{1-2x}{1+2x}$＞0，可得-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}≤-b＜b≤\frac{1}{2}$，
∴b∈（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\frac{1-2x}{1+2x}$，則y′=$\frac{-2（1+2x）-2（1-2x）}{（1+2x）^{2}}$=$\frac{-4}{（1+2x）^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）內(nèi)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．