Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

2

3

，an=

2an-1

an-1+1

(n≥2，n∈N*)
（1）證明：數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）證明：

n

i=1

ai(1-ai+1)＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，化簡可得

1 an -1

1 an-1 -1

=

1

2

，從而可得數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）通項(xiàng)代入，利用疊加法，即可證明結(jié)論．

解答：證明：（1）∵an=

2an-1

an-1+1

(n≥2，n∈N*)
∴

1 an -1

1 an-1 -1

=

1

2

∵a1=

2

3

∴

1

a1

-1=

1

2

∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)、公比均為

1

2

的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=

1

2n

∴an=

2n

2n+1

；
（2）

n

i=1

ai(1-ai+1)=

n

i=1

2i

2i+1

(1-

2i+1

2i+1+1

)=

n

i=1

(

1

2i+1

-

1

2i+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

∴

n

i=1

ai(1-ai+1)＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．