Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足條件：①f（x）+f（-x）=2，②對非零實數(shù)x，都有．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)y=g（x）交于A_n，又B_n為A_n關(guān)于直線y=x的對稱點，（其中n∈N^*），求|A_nB_n|；
（3）設(shè)a_n=|A_nB_n|，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求證：當(dāng)n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x≠0時，由，可得，兩式聯(lián)立，即可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）得，直線與函數(shù)y=g（x）聯(lián)立，求出A_n、B_n的坐標(biāo)，從而可求|A_nB_n|；
（3）由（2）知，利用，可得當(dāng)n≥2時，，累加得：，從而可證結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)x≠0時，，故 
兩式聯(lián)立可得，f（x）=x+1（x≠0）
又當(dāng)x=0時，有f（0）=1，∴f（x）=x+1；
（2）由（1）得，直線與函數(shù)y=g（x）聯(lián)立可得，
∴
由此可得
所以，
（3）由（2）知，
∵，∴，
∴當(dāng)n≥2時，，，…，
累加得：
又∵==
∴．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查兩點間的距離，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定點的坐標(biāo)，疊加法研究數(shù)列的和．