Question

10．已知點A（-2，0），B（2，0），點C在直線y=1上，滿足AC⊥BC，則以A，B為焦點且過點C的橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 先求出C的坐標，再利用待定系數法，即可求以A，B為焦點且過點C的橢圓的方程．

解答 解：設C（m，1），則
∵點A（-2，0），B（2，0），AC⊥BC，
∴（m+2，1）•（m-2，1）=0
∴m²-4+1=0，
∴m=±$\sqrt{3}$，
設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=4}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓方程，考查待定系數法的運用，確定C的坐標是關鍵．