Question

7．人耳的聽力情況可以用電子測聽器檢測，正常人聽力的等級為0-25db（分貝），并規(guī)定測試值在區(qū)間（0，5]為非常優(yōu)秀，測試值在區(qū)間（5，10]為優(yōu)秀，某班50名同學都進行了聽力測試，所得測試值制成頻率分布直方圖：
（Ⅰ）現(xiàn)從聽力等級為（0，10]的同學中任意抽取出4人，記聽力非常優(yōu)秀的同學人數(shù)X，求X的分布列與數(shù)學期望．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任選一人參加一個更高級別的聽力測試，測試規(guī)則如下：四個音叉的發(fā)聲情況不同，由強到弱的次序分別為1，2，3，4，測試前將音叉隨機排列，被測試的同學依次聽完后給四個音叉按發(fā)音的強弱標出一組序號a₁，a₂，a₃，a₄（其中a₁，a₂，a₃，a₄為1，2，3，4的一個排列），若Y為兩次排序偏離程度的一種描述，Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，求Y≤2的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得X的可能值為0，1，2，3，4，
求出對應的概率，寫出X的分布列，計算數(shù)學期望值；
（Ⅱ）序號a₁，a₂，a₃，a₄的排列總數(shù)為${A}_{4}^{4}$，
計算Y≤2對應的種數(shù)為Y=0或Y=2時共4種，求出對應的概率值．

解答 解：（Ⅰ）X的可能值為0，1，2，3，4，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

數(shù)學期望為EX=0×$\frac{15}{210}$+1×$\frac{80}{210}$+2×$\frac{90}{210}$+3×$\frac{24}{210}$+4×$\frac{1}{210}$=1.6；
（Ⅱ）序號a₁，a₂，a₃，a₄的排列總數(shù)為${A}_{4}^{4}$=24種，
∵Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
當Y=0時，a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4；
當Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|=2時，
a₁，a₂，a₃，a₄的可能取值為：
a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=3；
a₁=1，a₂=3，a₃=2，a₄=4；
a₁=2，a₂=1，a₃=3，a₄=4；
∴Y≤2的概率為P（Y≤2）=$\frac{4}{24}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的應用問題，是綜合題．