求“方程（
3
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）x+（
4
5
）x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（
3
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）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，類比上述解題思路，方程x6+x2=x3+6x2+13x+10的所有實數(shù)解之和為
1
1
．
分析：方程x6+x2=x3+6x2+13x+10等價為x6+x2=（x+2）3+（x+2）．類比“方程（
3
5
）x+（
4
5
）x=1，求“方程的解的解題思路，設f（x）=x3+x，利用導數(shù)研究f（x）在R上單調遞增，從而根據(jù)原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．
解答：解：∵方程x6+x2=x3+6x2+13x+10等價為x6+x2=（x+2）3+（x+2）．
∴設f（x）=x3+x，
則函數(shù)f（x）在R上單調遞增，
由x6+x2=（x+2）3+（x+2），
即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），
∴x2=x+2，
解得，x=-1或x=2．
∴方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為{-1，2}．
∴-1+2=1．
故答案為：1
點評：本題主要考查了類比推理，考查了導數(shù)與單調性的關系，函數(shù)單調性的應用，考查學生分析問題，解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

問題“求方程3x+4x=5x的解”有如下的思路：方程3x+4x=5x可變?yōu)?span id="eqlc4jc" class="MathJye">(
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)x+(
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)x=1，考察函數(shù)f（x）=(
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)x+(
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)x可知，f（2）=1，且函數(shù)f（x）在R上單調遞減，∴原方程有唯一解x=2．仿照此解法可得到不等式：x6-（2x+3）＞（2x+3）3-x2的解是
{x|x＜-1或x＞3}
{x|x＜-1或x＞3}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黑龍江二模）求“方程（
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）x+（
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）x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（
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）x+（
4
5
）x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為
{-1，2}
{-1，2}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設函數(shù)g(x)=x3-3m2x+
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 (-
1
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≤x≤
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， 0＜m＜
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)，若對任意的x1∈[-
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，
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2
]，總存在x2∈[-
1
2
，
1
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]，使得f（x2）=g（x1）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江二模 題型：填空題

求“方程（
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）x+（
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）x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（
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）x+（
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）x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為______．

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