Question

16．若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$且最大值為40，則$\frac{5}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=10}\end{array}\right.$，即A（8，10），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為40，
即8a+10b=40，∴$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b=1，
$\frac{5}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}$）×1=（$\frac{5}{a}$+$\frac{1}$）×（$\frac{1}{5}$a+$\frac{1}{4}$b）
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{5b}{4a}$+$\frac{a}{5b}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{5b}{4a}•\frac{a}{5b}}$=$\frac{5}{4}$+2×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{5b}{4a}$=$\frac{a}{5b}$，即2a=5b時(shí)取等號(hào)．
故$\frac{5}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{9}{4}$
故答案為：$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．