Question

7．長時間上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，某校為了解甲、乙兩班學(xué)生上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周上網(wǎng)時長作為樣本，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

甲班	10	12	15	18	24	36
乙班	12	16	22	26	28	38

如果學(xué)生平均每周上網(wǎng)的時長超過19小時，則稱為“過度上網(wǎng)”．
（1）從甲班的樣本中有放回地抽取3個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度上網(wǎng)”的概率；
（2）從甲班、乙班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過度上網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為X，寫出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）確定為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)類型即可求解概率P（A）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
（2）確定隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4．利用排列組合知識求解相應(yīng)的概率類型，得出分布列，可求數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“恰有一個數(shù)據(jù)為過度上網(wǎng)”為事件A，則P（A）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$  …（3分）
（2）甲組六人中有兩人過度上網(wǎng)，乙組六人中有四人過度上網(wǎng)，則
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$   …（8分）

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（X）=$\frac{56}{225}$+2×$\frac{101}{225}$+3×$\frac{56}{225}$+4×$\frac{6}{225}$=2．
答：數(shù)學(xué)期望為2 …（10分）

點(diǎn)評 本題綜合考察了離散型的概率分布列，數(shù)學(xué)期望，考察了學(xué)生的實(shí)際問題的分析能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．