【題目】定義在R上的函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.
(1)求f(0)的值;
(2)求證:對(duì)任意x∈R,都有f(x)>0;
(3)解不等式f(3﹣2x)>4.

【答案】
(1)解:對(duì)任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y).

令x=y=0,得f(0)=f(0)f(0),即f(0)=0或f(0)=1.

令y=0,得f(x)=f(x)f(0),對(duì)任意x∈R成立,所以f(0)≠0,

因此f(0)=1


(2)證明:對(duì)任意x∈R,有f(x)=f( + )=f( )f( )=[f( )]2≥0.

假設(shè)存在x0∈R,使f(x0)=0,

則對(duì)任意x>0,有f(x)=f[(x﹣x0)+x0]=f(x﹣x0)f(x0)=0.

這與已知x>0時(shí),f(x)>1矛盾.

所以,對(duì)任意x∈R,均有f(x)>0成立


(3)解:令x=y=1有f(2)=f2(1)=4,

任取x1,x2,x1<x2,則x2﹣x1>0,有f(x2﹣x1)>1.

f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),

則f(x)在R上遞增,

不等式f(3﹣2x)>4即f(3﹣2x)>f(2).

即有3﹣2x>2,即x<

故不等式的解集為(﹣


【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=0或f(0)=1.再令y=0,得f(x)=f(x)f(0),對(duì)任意x∈R成立,所以f(0)≠0,即f(0)=1;(2)對(duì)任意x∈R,有f(x)=f( + )=f( )f( )=[f( )]2≥0.由條件即可得證;(3)令x=y=1,求得f(2)=4,再由單調(diào)性的定義,任取x1 , x2,x1<x2 , 則x2﹣x1>0,有f(x2﹣x1)>1.則f(x2
=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),即可判斷f(x)在R上遞增,即有不等式f(3﹣2x)>4即f(3﹣2x)>f(2).運(yùn)用單調(diào)性即可解得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣4|x|+3,x∈R.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式;
(2)畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間;

(3)若函數(shù)f(x)的圖象與y=a的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)如果對(duì)于任意的, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè)函數(shù), ,過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的所有切線,令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列,求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.

(1)求到平面的距離

(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)解不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= +3lnax﹣x,g(x)=xex+cosx(a≠0).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x1∈[1,2],x2∈[0,3],使得f( )>g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2a4x﹣2x﹣1.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)若f(x)有零點(diǎn),求a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3x2﹣9x+3.求:
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(2)f(x)的極值.

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【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,sinx),函數(shù)f(x)=
(1)求f(x)的對(duì)稱軸方程;
(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合;
(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù) ,不等式f(x)﹣m<2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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