Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若${a_1}=1，{S_n}=3{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}），則{S_n}$=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得S_n-1=3a_n（n≥2），與圓遞推式作差可得數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起，是以${a}_{2}=\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列，則S_n可求．

解答 解：由S_n=3a_n+1，得
S_n-1=3a_n（n≥2），
兩式作差得：a_n=3a_n+1-3a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．
又a₁=1，a₁=S₁=3a₂，得${a}_{2}=\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起，是以${a}_{2}=\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{4}{3}$為公比的等比數(shù)列．
則S₁=a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n}=1+\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{4}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{3}}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
已知S₁適合上式，
∴${S}_{n}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
故答案為：${（\frac{4}{3}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是中檔題．