Question

已知函數(shù)f(x)=x²-2acoskπ·lnx(k∈N*，a∈R，且a＞0)，
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調性；
(Ⅱ)若k=2010，關于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，得x＞0且f′(x)=，
當k是奇數(shù)時，則f′(x)＞0，則f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)；
當k是偶數(shù)時，則f′(x)=，
所以當x∈時，f′(x)＜0，當x∈時，f′(x)＞0，
故當k是偶數(shù)時，f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
(Ⅱ)若k=2010，則f(x)=x²-2alnx(k∈N*)，
記g(x)=f(x)-2ax=x²-2alnx-20x，
g′(x)=，
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；
令g′(x)=0，得x²-ax-a=0，
因為a＞0，x＞0，所以(舍去)，，
當x∈(0，x₂)時，g′(x)＜0，g(x)在(0，x₂)是單調遞減函數(shù)；
當x∈(x₂，+∞)時，g′(x)＞0，g(x)在(x₂，+∞)上是單調遞增函數(shù)．
當x=x₂時，g′(x₂)=0，g(x)_min=g(x₂)．
因為g(x)=0有唯一解，所以g(x₂)=0，
則，即，
兩式相減，得2alnx₂+ax₂-a=0，
因為a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0， (*)
設函數(shù)h(x)=21nx+x-1，
因為在x＞0時，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)=0至多有一解，
因為h(1)=0，
所以方程(*)的解為x₂=1，從而解得。