Question

15．已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanA=$\frac{\sqrt{3}bc}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，
（1）求角A的大�。�
（2）當(dāng)a=$\sqrt{3}$時(shí)，求c²+b²的最大值，并判斷此時(shí)三角形ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\sqrt{3}cb}{cosA•2bc}$，從而解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合A為銳角，可解得A的值．
（2）由（1）及余弦定理可得：3=b²+c²-bc，利用基本不等式可得：3=b²+c²-bc≥$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），解得c²+b²的最大值，根據(jù)A=$\frac{π}{3}$，
并可判斷此時(shí)△ABC的形狀為等邊三角形．

解答 解：（1）∵銳角三角形ABC中，tanA=$\frac{\sqrt{3}cb}{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}$，
∴由余弦定理：c²+b²-a²=cosA•2bc可得：$\frac{sinA}{cosA}=\frac{\sqrt{3}cb}{cosA•2bc}$，從而解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由于A為銳角，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$
當(dāng)a=$\sqrt{3}$時(shí)，由（1）及余弦定理可得：3=b²+c²-2bc×$\frac{1}{2}$，可得：3=b²+c²-bc≥$\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立），解得c²+b²的最大值是6．
此時(shí)，b=c，故△ABC的形狀為等腰三角形．
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的形狀為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，基本不等式的綜合應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．