Question

過(guò)原點(diǎn)O作圓x²+y²-2x-4y+4=0的任意割線(xiàn)交圓于P₁，P₂兩點(diǎn)，求P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

分析：設(shè)割線(xiàn)OP₁P₂的直線(xiàn)方程為y=kx與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0，再由韋達(dá)定理得：x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

，因?yàn)镻是P₁P₂的中點(diǎn)，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

，再由P點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx上，得到k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

整理即可．要注意范圍．

解答：解：設(shè)割線(xiàn)OP₁P₂的直線(xiàn)方程為y=kx代入圓的方程，
得：x²+k²x²-2x-4kx+4=0
即（1+k²）x²-2（1+2k）x+4=0
設(shè)兩根為x₁，x₂即直線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
由韋達(dá)定理得：
x1+x2=

2(1+2k)

1+k2

又設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y）
P是P₁P₂的中點(diǎn)，所以x=

x1+x2

2

=

1+2k

1+k2

又P點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx上，
∴k=

y

x

，代入上式得x=

1+2 y x

1+( y x )2

兩端乘以1+(

y

x

)2，得x+

y2

x

=1+2

y

x

即x²+y²=x+2y
(x-

1

2

)2+(y-1)2=

5

4

這是一個(gè)一點(diǎn)(

1

2

，1)為中心，以

5

2

為半徑的圓，
所求軌跡是這個(gè)圓在所給圓內(nèi)的一段�。�

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)的軌跡方程．