Question

已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。（Ⅱ）的取值范圍為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，

所以                         2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420279895258974_DA.files/image007.png">是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420279895258974_DA.files/image011.png">，所以                        4分

（Ⅱ）對(duì)任意的都有成立，

等價(jià)于對(duì)任意的都有

當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù)

所以                        6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070814194362949671/SYS201307081420279895258974_DA.files/image020.png">，且，         7分

①當(dāng)且時(shí)，，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)

∴

由≥，得≥

又，∴不合題意．                       9分

②當(dāng)1≤≤時(shí)

若1≤＜，則

若＜≤，則

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

∴

由≥，得≥

又1≤≤，∴≤≤                         11分

③當(dāng)且時(shí)，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)

∴, 由≥，得≥

又，∴                             13分

綜上所述，的取值范圍為                     14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，在某區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)。不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，往往通過構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，使問題得解。本題解答需要對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論，易于出錯(cuò)，是較難的題目。