Question

12．已知過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦點且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan45°=1，求得a和b的不等式關系，進而根據(jù)b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$轉化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答 解：要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即$\frac{a}$＜tan45°=1，即b＜a，
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜a，
整理得c＜$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$
∵雙曲線中e＞1
∴e的范圍是（1，$\sqrt{2}$）．
故選：B．

點評 本題以雙曲線為載體，考查了雙曲線的簡單性質．在求離心率的范圍時，注意雙曲線的離心率大于1．