Question

9．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x}）^n}$的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
（1）求n，
（2）求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可得 $C_n^3=C_n^8$，由此求得n的值．
（2）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1）由第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可得 $C_n^3=C_n^8$，解得 n=11．
（2）由（1）知，展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為：${T_{r+1}}=C_{11}^r{（\sqrt{x}）^{11-r}}{（-\frac{2}{x}）^r}={（-2）^r}C_{11}^r{x^{\frac{11-3r}{2}}}$，
令$\frac{11-3r}{2}=1$得r=3，此時(shí)${T_{3+1}}={（-2）^3}C_{11}^3x=-1320x$，
所以，展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)為-1320．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．