Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1（n∈N⁺）．若不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

對(duì)任意的n∈N⁺恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：在已知遞推式中分別取n=1，2，聯(lián)立方程組求得首項(xiàng)和公差，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到a_n+1，代入不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

后分n為偶數(shù)和奇數(shù)變形，分離參數(shù)λ后分別利用基本不等式求最值和函數(shù)單調(diào)性求最值，取交集后得到λ的取值范圍，則λ的最大值可求．

解答： 解：在a_n²=S_2n-1中，
令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
a_n+1=2n+1．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立，
∵2n+

8

n

≥8，等號(hào)在n=2時(shí)取得，
∴此時(shí)λ需滿足λ≤25；
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式

λ

an+1

≤

n+8•(-1)n

n

恒成立，
即需不等式λ≤

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，
∵2n-

8

n

隨n的增大而增大，
∴n=1時(shí)，2n-

8

n

取得最小值-6．
則λ≤-6-15=-21．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ≤-21．
∴實(shí)數(shù)λ的最大值為-21．
故答案為：-21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．