Question

已知拋物線C₁：y²=4x和C₂：x²=2py（p＞0）的焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，C₁，C₂交于O，A兩點（O為坐標(biāo)原點），且F₁F₂⊥OA．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）過點O的直線交C₁的下半部分于點M，交C₂的左半部分于點N，點P坐標(biāo)為（-1，-1），求△PMN面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

F1F2

=（-1，

p

2

），聯(lián)立

y2=4x x2=2py

，解得

x=0 y=0

，或

x= 3 16p2 y= 3 32p

，得到

OA

=(

3	16p2

，

3	32p

)，由此能求出C₂的方程．
（2）設(shè)過O的直線方程為y=kx，聯(lián)立

y=kx y2=4x

，得M（

4

k2

，

4

k

），聯(lián)立

y=kx y2=4x

，得N（4k，4k²），由此利用點到直線的距離公式能求出△PMN面積取得最小值．

解答： 解：（1）由已知得：F₁（1，0），F2(0，

p

2

)，∴

F1F2

=（-1，

p

2

），…（1分）
聯(lián)立

y2=4x x2=2py

，解得

x=0 y=0

，或

x= 3 16p2 y= 3 32p

，
即O（0，0），A（

3	16p2

，

3	32p

），
∴

OA

=(

3	16p2

，

3	32p

)，…（3分）
∵F₁F₂⊥OA，∴

F1F2

•

OA

=0，
即-

3	16p2

+

p

2

3	32p

=0，解得p=2，∴C₂的方程為x²=4y．…（5分）
（2）設(shè)過O的直線方程為y=kx，（k＜0），
聯(lián)立

y=kx y2=4x

，得M（

4

k2

，

4

k

），聯(lián)立

y=kx y2=4x

，得N（4k，4k²），…（7分）
P（-1，-1）在直線y=x上，設(shè)點M到直線y=x的距離為d₁，點N到直線y=x的距離為d₂，
則S_△PMN=

1

2

•|OP|•（|d₁|+|d₂|）…（8分）
=

1

2

×

2

×（

| 4 k2 - 4 k |

2

+

|4k-4k2|

2

）
=2（|

1

k

-

1

k2

|+|k-k²|）
=2（-

1

k

-k+

1

k2

+k2）…（10分）
≥2(2

(- 1 k )•(-k)

+2

1 k2 •k2

)=8，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時，“=”成立，即當(dāng)過原點直線為y=-x時，…（11分）
△PMN面積取得最小值8．…（12分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運(yùn)用．