Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-1，對(duì)任意x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 運(yùn)用參數(shù)分離，依據(jù)題意得$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，通過(guò)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1的最小值，即可求出m的取值范圍．

解答 解：依據(jù)題意得$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-1-4m²（x-1）≤（x-1）²-1+4（m²-1）在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1在x∈[$\frac{3}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1，g′（x）=$\frac{6}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵x∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
∴g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$+1取得最小值-$\frac{5}{3}$，
所以$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m²≤-$\frac{5}{3}$，
即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解．