Question

巳知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和g（x）=ax²+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）證明：當(dāng)a＜0時(shí)，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在同一函數(shù)圖象上取任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k若f（x）滿足k=f′（x₀），則稱其為“K函數(shù)”．判斷函數(shù)f（x）=ax²+bx+c與g（x）=ax²+bx+c•lnx是否為“K函數(shù)”？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）g′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0，則g（x）在定義域內(nèi)總為增函數(shù)可化為2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立；結(jié)合二次函數(shù)的圖象知不可能；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”，g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”，由斜率公式求斜率，從而根據(jù)定義判斷．

解答： 解：（Ⅰ）證明：如果g（x）是定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，
則有g(shù)′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0；
從而有2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，則結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得，2ax²+bx+c＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，
故當(dāng)a＜0時(shí)，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”，g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”，
事實(shí)上，對于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=a（x₁+x₂）+b=2ax₀+b；
又f′（x₀）=2ax₀+b，
故k=f′（x₀）；
故函數(shù)f（x）=ax²+bx+c是“K函數(shù)”；
對于函數(shù)g（x）=ax²+bx+c•lnx，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則k=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=2ax₀+b+

cln x1 x2

x1-x2

；
而g′（x₀）=2ax₀+b+

c

x0

；
故

cln x1 x2

x1-x2

=

c

x0

，化簡可得，

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

；
設(shè)t=

x1

x2

，則0＜t＜1，lnt=

2(t-1)

1+t

；
設(shè)s（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

；則s′（t）=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0；
則s（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

是（0，1）上的增函數(shù)，
故s（t）＜s（1）=0；
則lnt≠

2(t-1)

1+t

；
故g（x）=ax²+bx+c•lnx不是“K函數(shù)”．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生對新定義的接受能力，屬于中檔題．