Question

已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)．

（1）求的極值；

（2）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的最小值；

（3）設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）極大值為1，無(wú)極小值．（2）3 ?．（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)極值，先明確定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719110775811343/SYS201411171911191023251058_DA/SYS201411171911191023251058_DA.003.png">再求其導(dǎo)數(shù)為．由，得x = 1.分析導(dǎo)數(shù)在定義區(qū)間符號(hào)正負(fù)，確定函數(shù)先增后減，所以y =有極大值為1，無(wú)極小值．（2）不等式恒成立問(wèn)題，先化簡(jiǎn)不等式．化簡(jiǎn)不等式的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是絕對(duì)值，二是兩個(gè)參量可從函數(shù)單調(diào)性去絕對(duì)值，分析兩個(gè)函數(shù)，一是，二是.利用導(dǎo)數(shù)可知兩者都是增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于，變量分離調(diào)整為,這又等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，即在上恒成立．繼續(xù)變量分離得恒成立，即.最后只需求函數(shù)在上最大值,就為的最小值.（3）本題含義為：對(duì)于函數(shù)在上值域中每一個(gè)值，函數(shù)在上總有兩個(gè)不同自變量與之對(duì)應(yīng)相等．首先求出函數(shù)在上值域，然后根據(jù)函數(shù)在上必須不為單調(diào)函數(shù)且每段單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的值域都需包含.由在不單調(diào)得，由每段單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的值域都需包含得，.

試題解析：（1），令，得x = 1． 1分

列表如下：

x	（?∞，1）	1	（1，∞）
		0	?
g(x)	↗	極大值	↘

 

 

 

 

 

 

∵g(1) = 1，∴y =的極大值為1，無(wú)極小值． 3分

（2）當(dāng)時(shí)，，．

∵在恒成立，∴在上為增函數(shù)． 4分

設(shè)，∵> 0在恒成立，

∴在上為增函數(shù)． 5分

設(shè)，則等價(jià)于，

即．

設(shè)，則u(x)在為減函數(shù)．

∴在（3，4）上恒成立． 6分

∴恒成立．設(shè)，∵=，x?[3，4]，

∴，∴< 0，為減函數(shù)．

∴在[3，4]上的最大值為v(3) = 3 ?． 8分

∴a≥3 ?，∴的最小值為3 ?． 9分

（3）由（1）知在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719110775811343/SYS201411171911191023251058_DA/SYS201411171911191023251058_DA.023.png">． 10分

∵，，

當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，不合題意． 11分

當(dāng)時(shí)，，由題意知在不單調(diào)，

所以，即．①12分

此時(shí)在上遞減，在上遞增，

∴，即，解得．②

由①②，得． 13分

∵，∴成立． 14分

下證存在，使得≥1．

取，先證，即證．③

設(shè)，則在時(shí)恒成立．

∴在時(shí)為增函數(shù)．∴，∴③成立．

再證≥1．

∵，∴時(shí)，命題成立．

綜上所述，的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：函數(shù)極值，不等式恒成立