Question

設(shè)a，b∈R且a+b=3，b＞0，則當

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值時，實數(shù)a的值是（　�。�

• A、

  3

  2

• B、-

  3

  2

• C、-

  3

  2

  或

  3

  4

• D、3

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：a+b=3，b＞0，可得b=3-a＞0，a＜3，且a≠0．分類討論：當0＜a＜3時，

1

3|a|

+

|a|

b

=

1

3a

+

a

b

=

1

3a

+

a

3-a

=f（a）；當a＜0時，

1

3|a|

+

|a|

b

=-（

1

3a

+

a

b

）=-（

1

3a

+

a

3-a

）=f（a），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①當0＜a＜3時，

1

3|a|

+

|a|

b

=

1

3a

+

a

b

=

1

3a

+

a

3-a

=f（a），
f′（a）=-

1

3a2

+

3

(3-a)2

=

(2a+3)(4a-3)

3a2(3-a)2

，
當

3

4

＜a＜3時，f′（a）＞0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；當0＜a＜

3

4

時，f′（a）＜0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當a=

3

4

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
②當a＜0時，

1

3|a|

+

|a|

b

=-（

1

3a

+

a

b

）=-（

1

3a

+

a

3-a

）=f（a），
f′（a）=

1

3a2

-

3

(3-a)2

=-

(2a+3)(4a-3)

3a2(3-a)2

，
當-

3

2

＜a＜0時，f′（a）＞0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；當a＜-

3

2

時，f′（a）＜0，此時函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當a=-

3

2

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
綜上可得：當a=-

3

2

或

3

4

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故選：C．

點評：本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．