考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:a+b=3,b>0,可得b=3-a>0,a<3,且a≠0.分類討論:當0<a<3時,
+
=
+=
+
=f(a);當a<0時,
+
=-(
+)=-(
+
)=f(a),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
解答:
解:∵a+b=3,b>0,
∴b=3-a>0,∴a<3,且a≠0.
①當0<a<3時,
+
=
+=
+
=f(a),
f′(a)=
-+
=
,
當
<a<3時,f′(a)>0,此時函數(shù)f(a)單調(diào)遞增;當
0<a<時,f′(a)<0,此時函數(shù)f(a)單調(diào)遞減.
∴當a=
時,
+
取得最小值.
②當a<0時,
+
=-(
+)=-(
+
)=f(a),
f′(a)=
-
=-
,
當
-<a<0時,f′(a)>0,此時函數(shù)f(a)單調(diào)遞增;當
a<-時,f′(a)<0,此時函數(shù)f(a)單調(diào)遞減.
∴當a=-
時,
+
取得最小值.
綜上可得:當a=
-或
時,
+
取得最小值.
故選:C.
點評:本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.