【題目】求最大實數(shù)，使得對任意階簡單圖，有不等式，其中，為圖的邊數(shù)，為圖中三角形的個數(shù).

【答案】

【解析】

先證明一個引理.

引理 設(shè)階簡單圖有條邊，個三角形.則.

證明 因為階簡單圖中，個三角形共有條邊，且每條邊至多出現(xiàn)在個三角形當(dāng)中，所以，.

回到原題.

首先考慮特殊的階完全圖，有.

令，則.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意階簡單圖成立.

當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立.

當(dāng)時，取為階簡單圖中度數(shù)最小的頂點，設(shè)其度數(shù)為，并設(shè)余下的個點構(gòu)成的簡單圖中有條邊，個三角形.則由引理知.①

由歸納假設(shè)知.②

因為點度數(shù)最小，所以，.③

設(shè)與點相鄰的個頂點之間連有條邊，這條邊每條和點都形成一個三角形.故只需證明

. ④

易知，，.⑤

因此，.

將式①、③代入上式得.⑥

又由式⑤知.⑦

由式②、⑥、⑦知式④成立，即當(dāng)時，結(jié)論成立.

從而，對所有，結(jié)論成立.

因此，.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】，.

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求n的值；

若取出的2個集團(tuán)是同一類集團(tuán)，求全為大集團(tuán)的概率；

若一次抽取4個集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個數(shù)為X，求X的分布列和期望．

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蔬菜量X

[40，80）

[80，120）

[120，160）

[160，200）

天數(shù)

25

50

100

25

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