Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若為橢圓上任意-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）消去參數(shù)得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到右焦點(diǎn)的坐標(biāo)．由極坐標(biāo)方程可得直線的直角坐標(biāo)方程為，由此可得過(guò)點(diǎn)F且與垂直的直線的方程，化為極坐標(biāo)方程即可．（2）設(shè)點(diǎn)，可得點(diǎn)到直線的距離，然后根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解．

試題解析：

（1）將參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∴橢圓的右焦點(diǎn)為，

由得，

∴直線的直角坐標(biāo)方程為，

∴過(guò)點(diǎn)與垂直的直線方程為，即，

∴極坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)，

則點(diǎn)到直線的距離，

其中，

∴當(dāng)時(shí)， 取最小值，

此時(shí)．

∴，

，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為．