Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方與它到直線l：x=m（m是常數(shù)）的距離相等．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）就m的不同取值討論方程C的圖形．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用條件寫出方程，并化簡(jiǎn)．
（2）將軌跡方程變形化簡(jiǎn)，得到 （x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m，討論4+m 與 4-m 的值的符號(hào)，分同為正數(shù)、一個(gè)正數(shù)一個(gè)是0時(shí)方程各表示的曲線類型．

解答：解：（1）因?yàn)樵�點(diǎn)為O（0，0），所以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離為|PO|=

x2+y2

，
于是動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足（

x2+y2

）²=|m-x|，
∴x²+y²=|m-x|，此即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由x²+y²=|m-x|，兩邊平方，移項(xiàng)因式分解，
得  （x²+y²-m+x）（x²+y²+m-x）=0，
∴（x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m．

①當(dāng)

1

4

+m＞0且

1

4

-m＞0，即-

1

4

＜m＜

1

4

時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)圓．
一個(gè)圓的圓心是（-

1

2

，0），半徑為

1 4 +m

；    另一個(gè)圓的圓心是（

1 4 -m

，0），半徑為

1

4

．
②當(dāng)m=

1

4

或m=-

1

4

時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓和一個(gè)點(diǎn)．
③當(dāng)m＜-

1

4

或m＞

1

4

時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．