Question

8．已知x，y∈R，滿足4≥y≥4-x，x≤2，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-2y+5}{xy-x+2y-2}$的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{13}{6}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 由已知可得解：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-2y+5}{xy-x+2y-2}$=$\frac{x+2}{y-1}$+$\frac{y-1}{x+2}$，畫出x，y的可行域，設(shè)m=$\frac{y-1}{x+2}$，如圖所示，根據(jù)其幾何意義可得$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{3}{2}$，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值．

解答 解：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-2y+5}{xy-x+2y-2}$=$\frac{（x+2）^{2}+（y-1）^{2}}{（x+2）（y-1）}$
=$\frac{x+2}{y-1}$+$\frac{y-1}{x+2}$，
∵x，y∈R，滿足4≥y≥4-x，x≤2，
∴0≤x≤2，2≤y≤4，
畫出x，y的可行域，如圖所示
設(shè)m=$\frac{y-1}{x+2}$，
則m=$\frac{y-1}{x+2}$表示與點B（-2，1）的斜率，
∴k_AB=$\frac{4-1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$，k_BC=$\frac{2-1}{2+2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤m≤$\frac{3}{2}$，
設(shè)f（m）=m+$\frac{1}{m}$，
∴f′（m）=1-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$=$\frac{（m+1）（m-1）}{m}$，
令f′（m）=0，解得m=1，
當(dāng)f′（m）＞0時，解得1＜m≤$\frac{3}{2}$，函數(shù)f（m）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（m）＜0時，解得$\frac{1}{4}$≤m≤1，函數(shù)f（m）單調(diào)遞減，
∵f（$\frac{1}{4}$）=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{6}$，
∴f（m）的最大值為f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{17}{4}$，
故選：D

點評 本題考查了線性規(guī)劃的問題以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用線性規(guī)劃求出自變量的取值范圍，屬于難題．