Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)D是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)△DF₁F₂的面積取得最大值1時(shí)，△DF₁F₂為直角三角形．
（1）橢圓C的方程．
（2）已知點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線(xiàn)的方程為$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{^{2}}$=1．過(guò)直線(xiàn)l：x=2上的任意點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)D在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△DF₁F₂的面積取得最大值，得b，c，a，
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），則直線(xiàn)AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
M（2，t）在直線(xiàn)AM、BM上，得x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．直線(xiàn)AB的方程為：x+ty=1

解答 解：（1）當(dāng)D在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△DF₁F₂的面積取得最大值．
依據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{bc=1}\\{b=c}\end{array}\right.$，解得b=c=1，a²=b²+c²=2，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，t），
則直線(xiàn)AM：$\frac{{x}_{1}x}{2}+{y}_{1}y=1$，BM：$\frac{{x}_{2}x}{2}+{y}_{2}y=1$，
∵M(jìn)（2，t）在直線(xiàn)AM、BM上，
∴x₁+ty₁=1，x₂+ty₂=1．
∴直線(xiàn)AB的方程為：x+ty=1，顯然直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的切線(xiàn)問(wèn)題，及直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的處理，屬于中檔題．