【題目】如圖:在三棱錐中,面,是直角三角形,,,,點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】
(1)連接,證明出平面,即可證得;
(2)連接交于點(diǎn),由(1)知平面,可得直線與平面所成的角為,通過(guò)解,可計(jì)算出,進(jìn)而得出結(jié)果;
(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,證明出平面,可得出二面角的平面角為,然后解,即可計(jì)算出,進(jìn)而得出結(jié)果.
(1)連接,在中,.
,點(diǎn)為的中點(diǎn),.
又平面,平面,,
,平面,
、分別為、的中點(diǎn),,平面,
平面,;
(2)連接交于點(diǎn),由(1)知平面,
為直線與平面所成的角,且平面,.
平面,、平面,,,
又,,
,,
在中,,
因此,直線與平面所成的角的正弦值為;
(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,
,,,平面,即平面,
平面,,
又,,平面,
平面,,
所以,為二面角的平面角.
在中,,所以,.
因此,二面角的正切值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若實(shí)數(shù)滿足,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)
,其中,、為常數(shù)。
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若時(shí),存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得既是的不動(dòng)點(diǎn),又是的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(3)證明:不存在實(shí)數(shù)組,使得互異的兩個(gè)極值點(diǎn)均為不動(dòng)點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 30 | ② | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 |
(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,,分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若為的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形、半徑為的圓及等腰直角三角形構(gòu)成,其中圓內(nèi)切于正方形,等腰三角形的直角頂點(diǎn)與的中點(diǎn)重合,斜邊在直線上.已知為的中點(diǎn),現(xiàn)將該圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】總體由編號(hào)為的個(gè)個(gè)體組成,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第個(gè)個(gè)體的編號(hào)為( )
7816 | 6572 | 0802 | 6314 | 0702 | 4369 | 9728 | 0198 |
3204 | 9234 | 4935 | 8200 | 3623 | 4869 | 6938 | 7481 |
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道,賽道的前一部分為曲線段,該曲線段是函數(shù), 時(shí)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為.賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線跑道,且.賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.
(1)求的值和的大;
(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”,矩形的一邊在道路上,一個(gè)頂點(diǎn)在半徑上,另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上,且,求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx(a∈R).
(1)若x=是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)a>2且x>1時(shí),求證:函數(shù)f(x)的最小值小于﹣3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦距為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N(異于橢圓的左頂點(diǎn)),設(shè)點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線QM,QN的斜率分別為,,試問(wèn):是否存在點(diǎn)Q,使得為定值?若存在.求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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