Question

二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a、b、c∈R，a≠0)．

(Ⅰ)對于x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f(x₁)≠f(x₂)，求證：方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]有不相等的兩實根，且必有一根屬于(x₁、x₂)；

(Ⅱ)若方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]在(x₁、x₂)內(nèi)的實根為m，且x₁、m－、x₂成等差數(shù)列，設x＝x₀是f(x)的對稱軸方程．

求證：x₀＜m²；

(Ⅲ)若a＞0，f(0)＝1，方程f(x)＝x的兩實根為α、β，當|β|＜2，

|α－β|＝2時，求b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由ax2＋bx＋c＝(a＋bx1＋c＋a＋bx2＋c)得 　　2ax2＋2bx－a(x12＋x22)－b(x1＋x2)＝0，由a≠0，此方程判別式 　　△＝(2b)2－4·2a[－a(x12＋x22)－b(x1＋x2)]＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0． 　　若2ax1＋b＝2ax2＋b＝0x1＝x2矛盾，故△＞0． 　　即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有兩個不等實根． 　　令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，則g(x)是二次函數(shù)， 　　∵g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2≤0 　　f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0， 　　∴g(x)＝0的根必有一根屬于(x1，x2)，命題得證． 　　(Ⅱ)由2f(m)＝f(x1)＋f(x2)，即a(2m2－x12－x22)＋b(2m－x1－x2)＝0． 　　∵x1，m－，x2成等差數(shù)列， 　　∴x1＋x2＝2m－1，即2m－x1－x2＝1，∴b＝－a(2m2－x12－x22)， 　　故x0＝－＝＝m2－． 　　∵x1＜x2，∴x12＋x22＞0，故x0＜m2． 　　(Ⅲ)f(0)＝1c＝1，由f(x)＝x得ax2＋(b－1)x＋1＝0， 　　令h(x)＝ax2＋(b－1)x＋1， 　　由h(x)＝0的實根為α、β知α·β＝＞0，故α、β同號． 　　若0＜β＜2，則α－β＝2，故α＝β＋2＞2， 　　∴h(2)＜0，即4a＋2b－1＜0，　�、佟　∮�(α－β)2＝－＝4， 　　∴2a＋1＝(∵a＞0)，代入①式得2＜3－2b，解得b＜； 　　若－2＜β＜0，則α＝－2＋β＜－2，　　∴h(－2)＜0即4a－2b＋3＜0．　�、� 　　又2a＋1＝，代入②得2＜2b－1，解得b＞． 　　綜上所述，得b＞或b＜