Question

（1）已知2^x≤（

1

4

）^x-3，求函數(shù)y=（

1

2

）^x的值域．
（2）函數(shù)y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式2^x≤（

1

4

）^x-3，求出x的范圍（定義域），進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)y=（

1

2

）^x的值域．
（2）若函數(shù)y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，結(jié)合f(

1

2

)=

2

5

，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組，可得答案．

解答：解：（1）∵2^x≤（

1

4

）^x-3=2^6-2x
由函數(shù)y=2^x為定義在R的增函數(shù)
故x≤6-2x
解得x≤2
又∵函數(shù)y=（

1

2

）^x為定義在R的減函數(shù)
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值

1

4

，無最大值
故函數(shù)y=（

1

2

）^x的值域?yàn)閇

1

4

，+∞）
（2）∵函數(shù)y=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，即

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的值域，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合應(yīng)用．