Question

已知復數(shù)z=（a²-4sin²θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R⁺，θ∈（0，π），i為虛數(shù)單位，且z是方程x²+2x+2=0的一個根．
（1）求θ與a的值；
（2）若w=x+yi（x，y為實數(shù)），求滿足|w-1|≤|

. z

z+i

|的點（x，y）表示的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)的關系即可得出；
（2）利用復數(shù)的運算法則進行化簡和復數(shù)的模的計算公式及其幾何意義、圓的標準方程即可得出．

解答：解：（1）∵z是方程x²+2x+2=0的一個根，∴

.

z

也是此方程的一個根，
∴z+

.

z

=-2，z•

.

z

=2，
∴

2(a2-4sin2θ)=-2 (a2-4sin2θ)2+4(cosθ+1)2=2

，又a∈R⁺，θ∈（0，π），解得

θ= 2π 3 a= 2

．
即θ=

2π

3

，a=

2

．
（2）由（1）可得：z=-1+i．
∵|

. z

z+i

|=|

-1-i

-1

|=|1+i|=

2

．
∴|w-1|≤

2

，
∴|（x-1）+yi|≤

2

，∴

(x-1)2+y2

≤

2

，即（x-1）²+y²≤2．
∴點（x，y）在以（1，0）為圓心，

2

為半徑的圓上．
∴點（x，y）表示的圖形的面積=π(

2

)2=2π．

點評：熟練掌握實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)的關系、復數(shù)的運算法則進行化簡和復數(shù)的模的計算公式及其幾何意義、圓的標準方程是解題的關鍵．