【題目】設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2)是橢圓 上的兩點,已知向量 =( , ), =( , ),若 =0且橢圓的離心率e= ,短軸長為2,O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)依題意知2b=2,∴b=1,e= = =

∴a=2,c= =

∴橢圓的方程為

(Ⅱ)①當(dāng)直線AB斜率不存在時,即x1=x2,y1=﹣y2,

=0

∴x12 =0

∴y12=4x12

又A(x1,y1)在橢圓上,所以x12+ =1

∴|x1|= ,|y1|=

s= |x1||y1﹣y2|=1

所以三角形的面積為定值.

②當(dāng)直線AB斜率存在時:設(shè)AB的方程為y=kx+b

消去y得(k2+4)x2+2kbx+b2﹣4=0

∴x1+x2= ,x1x2= ,△=(2kb)2﹣4(k2+4)(b2﹣4)>0

=0,

∴x1x2+ =0

即x1x2+ =0代入整理得

2b2﹣k2=4

S= |AB|= = =1

綜上三角形的面積為定值1.


【解析】(1)依題意可求得b,進(jìn)而根據(jù)離心率求得a,則橢圓方程可得.(2)先看當(dāng)直線AB斜率不存在時,即x1=x2,y1=y2,根據(jù) =0代入求得x12 =0把點A代入橢圓方程,求得A點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值,進(jìn)而求得△AOB的面積的值;當(dāng)直線AB斜率存在時:設(shè)AB的方程為y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立消去y,根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式代入 =0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面積公式中求得求得△AOB的面積的值為定值.最后綜合可得答案.

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