Question

設(shè)m，n∈R，若直線（m-1）x+（n-1）y+2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則m+n的取值范圍是（　�。�

• A、[-2-2

  2

  ，-2+2

  2

  ]
• B、[2-2

  2

  ，2+2

  2

  ]
• C、(-∞，-2-2

  2

  ]∪[-2+2

  2

  ，+∞)
• D、(-∞，2-2

  2

  ]∪[2+2

  2

  ，+∞)

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，設(shè)m+n=x，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答： 解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m-1）x+（n-1）y+2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|m+n|

(m-1)2+(n-1)2

=1，
整理得：mn=-m-n+1，
設(shè)m+n=x，則有mn≤

x2

4

，
∴-x+1≤

x2

4

∵x²+4x-4≥0，
∴不等式變形得：（x+2-2

2

）（x+2+2

2

）≥0，
解得：x≥-2+2

2

或x≤-2-2

2

，
則m+n的取值范圍為（-∞，-2-2

2

]∪[-2+2

2

，+∞）．
故選：C．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及換元的思想，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．