將1,2,3,…,n這n個數(shù)隨機排成一列,得到的一列數(shù)a1,a2,…,an稱為1,2,3,…,n的一個排列;定義τ(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…|an-1-an|為排列a1,a2,…,an的波動強度.
(Ⅰ)當n=3時,寫出排列a1,a2,a3的所有可能情況及所對應的波動強度;
(Ⅱ)當n=10時,求τ(a1,a2,…,a10)的最大值,并指出所對應的一個排列;
(Ⅲ)當n=10時,在一個排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調整,若要求每次調整時波動強度不增加,問對任意排列a1,a2,…,a10,是否一定可以經(jīng)過有限次調整使其波動強度降為9;若可以,給出調整方案,若不可以,請給出反例并加以說明.
【答案】分析:(I)當n=3時,列舉出所有的可能為1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1.根據(jù)所給的公式做出波動強度.
(II)要求的結果轉化為±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10,在上述18個±中,有9個選正號,9個選負號,其中a1,a10出現(xiàn)一次,a2,a3,…,a9各出現(xiàn)兩次.使τ(a1,a2,…,a10)最大,應使第一個和最大,第二個和最小,得到結果.
(III)可以舉例說明對任意排列a1,a2,…,a10,不可以經(jīng)過有限次調整使其波動強度降為9.
解答:解:(Ⅰ)n=3時,排列a1,a2,a3的所有可能為1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1;…(2分)
τ(1,2,3)=2;τ(1,3,2)=3;τ(2,1,3)=3;
τ(2,3,1)=3;τ(3,1,2)=3;τ(3,2,1)=2.…(4分)
(Ⅱ)τ(a1,a2,…,a10)=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a9-a10|
上式轉化為±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10
在上述18個±中,有9個選正號,9個選負號,其中a1,a10出現(xiàn)一次,a2,a3,…,a9各出現(xiàn)兩次.…(6分)
所以τ(a1,a2,…,a10)可以表示為9個數(shù)的和減去9個數(shù)的和的形式,
若使τ(a1,a2,…,a10)最大,應使第一個和最大,第二個和最。
所以τ(a1,a2,…,a10)最大為:(10+10+9+9+8+8+7+7+6)-(1+1+2+2+3+3+4+4+5)=49.…(8分)
所對應的一個排列為:5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.(其他正確的排列同等給分) …(9分)
(Ⅲ)不可以.
例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6,除調整1,2外,其它調整都將使波動強度增加,
調整1,2波動強度不變.…(11分)
所以只能將排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6調整為排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6.
對于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6,仍然是除調整2,1外,其它調整都將使波動強度增加,所以仍只能調整1,2兩個數(shù)字.
如此不斷循環(huán)下去,不可能經(jīng)過有限次調整使其波動強度降為9.…(13分)
點評:本題考查排列組合的實際應用,本題解題的關鍵是題干比較長,首先要理解題意,看懂題目中所出現(xiàn)的新概念,并且能夠簡單的使用新概念.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下面的數(shù)表序列:
表1 表2 表3
1 1   3 1   3   5
4 4   8
12
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
(1)寫出表4,驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列,并將結論推廣到表n(n≥3)(不要求證明);
(2)每個數(shù)表中最后一行都只有一個數(shù),它們構成數(shù)列1,4,12,…,記此數(shù)列為{bn},求數(shù)列{bn}的前n項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

約瑟夫規(guī)則:將1,2,3,…,n按逆時針方向依次放置在一個單位圓上,然后從1開始,按逆時針方向,隔一個刪除一個數(shù),直至剩余一個數(shù)而終止,依次刪除的數(shù)為1,3,5,7,….當n=65時,剩余的一個數(shù)為
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•西城區(qū)一模)將1,2,3,…,n這n個數(shù)隨機排成一列,得到的一列數(shù)a1,a2,…,an稱為1,2,3,…,n的一個排列;定義τ(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…|an-1-an|為排列a1,a2,…,an的波動強度.
(Ⅰ)當n=3時,寫出排列a1,a2,a3的所有可能情況及所對應的波動強度;
(Ⅱ)當n=10時,求τ(a1,a2,…,a10)的最大值,并指出所對應的一個排列;
(Ⅲ)當n=10時,在一個排列中交換相鄰兩數(shù)的位置稱為一次調整,若要求每次調整時波動強度不增加,問對任意排列a1,a2,…,a10,是否一定可以經(jīng)過有限次調整使其波動強度降為9;若可以,給出調整方案,若不可以,請給出反例并加以說明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給定大于2004的正整數(shù)n,將1、2、3、…、分別填入n×n棋盤(由n行n列方格構成)的方格中,使每個方格恰有一個數(shù)。如果一個方格中填的數(shù)大于它所在行至少2004個方格內所填的數(shù),且大于它所在列至少2004個方格內所填的數(shù),則稱這個方格為“優(yōu)格”。求棋盤中“優(yōu)格”個數(shù)的最大值。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案