Question

【題目】各項為正的數(shù)列{an}滿足 ，
（1）當(dāng)λ=an+1時，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其公比；
（2）當(dāng)λ=2時，令 ，記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 數(shù)列{bn}的前n項之積為Tn ， 求證：對任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)λ=an+1時，an+1= +an，an＞0，

∴ = +1，

令 =q＞0，則q= +1，化為q2﹣q﹣1=0，解得q= ．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其公比q= ．

（2）當(dāng)λ=2時，an+1= +an，∴2an+1=an（an+2），

∴ = ．

∴Tn=b1b2b3…bn= … = = ．

又bn= = = = ﹣ ，

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= ﹣ + +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴2n+1Tn+Sn= + ﹣ = =2．

∴對任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值2．

【解析】（1）先遞推式兩邊同時除以an，可得含有的方程，再令=q，可得含有q的方程，解方程可得q；（2）先化簡整理可得bn=，再分別計算Tn和Sn，進(jìn)而可證對任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值．
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．