Question

【題目】已知橢圓G： +y2=1，與x軸不重合的直線l經(jīng)過左焦點(diǎn)F1 ， 且與橢圓G相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓G相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）若直線l的斜率為1，求直線OM的斜率；
（2）是否存在直線l，使得|AM|2=|CM||DM|成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可知F1（﹣1，0），又直線l的斜率為1，所以直線l的方程為y=x+1，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由 解得 或 ，

所以AB中點(diǎn) ，

于是直線OM的斜率為 ．

（2）假設(shè)存在直線l，使得|AM|2=|CM||DM|成立．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)M（﹣1，0），

所以 ， ，矛盾；

故直線的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），

聯(lián)立橢圓G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ，

于是 ，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ， ．

直線CD的方程為 ，聯(lián)立橢圓G的方程，得 ，

設(shè)C（x0，y0），則 ，

由題知，|AB|2=4|CM||DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），

即 ，

化簡(jiǎn)，得 ，故 ，

所以直線l的方程為 ， ．

【解析】（1）根據(jù)題意寫出過左焦點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立橢圓方程由韋達(dá)定理，得出中點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算OM所在直線的斜率；（2）假設(shè)這樣的直線存在，分情況討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得出條件不成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程由韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及弦長AB，再寫出CD所在直線的方程，同樣聯(lián)立橢圓方程寫出C點(diǎn)坐標(biāo)，表示出OC的長度，當(dāng)條件成立時(shí)可解出k的值，從而得到直線方程.