Question

設(shè)短軸長為是2

3

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和雙曲線

x2

a2

-

y2

a2

=1的離心率互為的倒數(shù)，過定圓E上面的每一個點都可以作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，且l₁，l₂與橢圓的公共點都只有一個的圓的方程為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)可得橢圓的方程為

x2

6

+

y2

3

=1，設(shè)出直線方程聯(lián)立橢圓方程得到一元二次方程，由△=0可得關(guān)于k的方程，再結(jié)合直線l₁，l₂互相垂直且兩條直線與橢圓的交點只有一個得到x₀y₀的關(guān)系即得到圓的方程，最后檢驗斜率不存在時也符合題意即可．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

a2

=1的離心率為

2

，于是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

．
即a=

2

c，又由題意，2b=2

3

以及b²+c²=a²，解得a=

6

，  b=c=

3

，
橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
設(shè)P（x₀，y₀）是⊙E上的任意一點，過P的直線l：y=k（x-x₀）+y₀，
代入

x2

6

+

y2

3

=1中，得

x2

6

+

(kx-kx0+y0)2

3

=1，
即（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-6=0，①
若直線l與橢圓的公共點只有一個，則①中判別式△=0，
即16k²（y₀-kx₀）²-8（1+2k²）[（y₀-kx₀）²-3]=0，
整理得關(guān)于k的方程：（6-x₀²）k²+2x₀y₀k-y₀²+3=0，②
要使得⊙E上面的每一個點都可以作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，
且l₁，l₂與橢圓的公共點都只有一個，方程必須有兩根且兩根之積為-1，故

-y02+3

6-x02

=-1，即x₀²+y₀²=9，
又對于點(

6

，  

3

)，(-

6

，  

3

)，(

6

，  -

3

)，(-

6

，  -

3

)，直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，
另一條斜率為0，顯然成立．故這樣的⊙E，方程為：x²+y²=9．
故答案為x²+y²=9．

點評：截距處理問題的關(guān)鍵是進行準確的運算，抓住題目的關(guān)鍵如垂直關(guān)系、只有一個交點，直線與圓錐曲線的綜合性問題，多為把關(guān)題，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點也是高考的重點．