Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG，以D為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能證明PA∥平面EDB．
（2）求出平面EFD的一個法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出二面角F-DE-B的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG．
以D為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
依題意得$A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，且$\overrightarrow{PA}=（1，0，-1），\overrightarrow{EG}=（\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}）$．
所以$\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{EG}$，即PA∥EG，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，
因此PA∥平面EDB．----------------（6分）
解：（2）$B（1，1，0），\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，又$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DE}=0$，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．----------------（7分）
所以平面EFD的一個法向量為$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$．
$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，
不妨設(shè)平面DEB的法向量為$\overrightarrow a=（x，y，z）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}（y+z）=0\\ \overrightarrow a•\overrightarrow{DB}=x+y=0\end{array}\right.$
不妨取x=1則y=-1，z=1，即$\overrightarrow a=（1，-1，1）$----------------（10分）
設(shè)所求二面角F-DE-B的平面角為θ$cosθ=-\frac{{\overrightarrow a•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow a||\overrightarrow{PB}|}}=\frac{1}{3}$，
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
二面角F-DE-B的正弦值大小為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．----------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．