Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的焦點，點P是C上的動點，則PF₁的取值范圍為

[1，3]

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程，得c=

a2-b2

=1，設(shè)F₁是橢圓左焦點（-1，0），點P的坐標為（x₀，y₀），可得PF₁=

(x0+1)2+y02

，結(jié)合

x 02

4

+

y 02

3

=1，化簡可得PF₁=

1

2

|x₀+4|，最后根據(jù)橢圓上一點橫坐標的取值范圍，可得|x₀+4|∈[2，6]，從而得到PF₁的取值范圍．

解答：解：∵橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1中，a²=4，b²=3
∴c=

a2-b2

=1
設(shè)F₁是橢圓的左焦點，得F₁的坐標為（-1，0），P的坐標為（x₀，y₀）
∴PF₁=

(x0+1)2+y02

∵點P是C上的動點，
∴

x 02

4

+

y 02

3

=1，可得y02=3（1-

x 02

4

）
∴PF₁=

(x0+1)2+3(1- x 02 4 )

=

1

2

|x₀+4|
∵-2≤x₀≤2
∴|x₀+4|∈[2，6]，PF₁∈[1，3]，
故答案為：[1，3]

點評：本題給出橢圓上一動點P，求該點到橢圓左焦點距離的取值范圍，著重考查了橢圓的基本概念和簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．