Question

18．設(shè)等差數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為 S_n，已知 ${（{a}_{7}-1）}^{3}+2017（{a}_{7}-1）=1$，${（{a}_{2011}-1）}^{3}+2017（{a}_{2011}-1）=-1$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₁＜a₇
• B． S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₇＞a₇
• C． S₂₀₁₂=-2017，a₂₀₁₇＜a₇
• D． S₂₀₁₇=-2017，a₂₀₁₇＞a₇

Answer 1

分析 根據(jù)等式，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，可知函數(shù)是單調(diào)遞增的，再利用函數(shù)的單調(diào)性即等差數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)（a₇-1）³+2017（a₇-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2017（a₂₀₁₁-1）=-1，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2017x，由于函數(shù)f（x）=x³+2017x是奇函數(shù)，
由條件有f（a₇-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1．
求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=3x²+2017＞0，所以函數(shù)f（x）=x³+2017x是單調(diào)遞增的，
而f（1）=2018＞1=f（a₇-1），即a₇-1＜1，解得：a₇＜2．
∵f（a₇-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，∴a₇-1＞a₂₀₁₁-1，a₇-1=-（a₂₀₁₁-1），
∴a₇＞0＞a₂₀₁₁，a₇+a₂₀₁₁=2，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：a₁+a₂₀₁₇=a₇+a₂₀₁₁=2
∴S₂₀₁₇=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2017}）×2017}{2}$=2017．
綜上知，S₂₀₁₇=2017，且a₂₀₁₁＜a₇ ，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的思想，綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列求和公式以及函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題