Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{mx-6}{{{x^2}+n}}$的圖象在點(diǎn)P（-1，f（-1））處的切線方程為x+2y+5=0，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切點(diǎn)在切線上和曲線上，滿足方程，解方程即可得到m，n的值，即可得到f（x）的解析式．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{mx-6}{{{x^2}+n}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{m（{x}^{2}+n）-2x（mx-6）}{（{x}^{2}+n）^{2}}$，
切線方程為x+2y+5=0，
由題意得$f（-1）=-2，f'（-1）=-\frac{1}{2}$，
即為$\frac{-m-6}{1+n}$=-2，$\frac{m（1+n）+2（-m-6）}{（1+n）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-6}\\{n=-1}\end{array}\right.$（由n+1≠0舍去n=-1），
則f（x）=$\frac{2x-6}{{x}^{2}+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．