Question

1．如圖，AB是圓O的直徑，點D是弦BC的中點，直線AD交圓O于點E，過點E作EF⊥BC于點H，交圓O于點F，交AB于點I，若OF⊥AB．
（1）證明：CA=CD；
（2）若圓的半徑為2$\sqrt{5}$，求DI的長．

Answer 1

分析 （1）證明：∠CDA=∠CAD=45°，即可證明CA=CD；
（2）連接DI，DO，由（1）得EI為線段DB的垂直平分線，故H為線段DB的中點，證明DO∥HI，得到I為線段OB的中點，即可求DI的長．

解答 證明：（1）∵OF⊥AB，
∴∠FOB=90°，∴$∠FEB=\frac{1}{2}∠FOB={45^0}$，
∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=∠AEF+∠FEB=90°，
∴∠AEF=45°，∵EF⊥BC，
∴∠EHD=∠EHB=90°，∠EDH=∠EBH=45°，
又∠CDA=∠EDH，∠CAD=∠EBH，∴∠CDA=∠CAD=45°，
∴CA=CD．
（2）連接DI，DO，
由（1）得EI為線段DB的垂直平分線，故H為線段DB的中點，
∵D是弦BC的中點，
∴OD⊥DB，
∴DO∥HI，
∴I為線段OB的中點，
∴在Rt△ODB中，$DI=\frac{1}{2}OB=\sqrt{5}$．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，考查垂徑定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．