Question

12．已知：如圖圓O的兩條弦AD∥BC，以A為切點的切線交CB延長線于P．求證：
（1）AC²=PC•AD；
（2）AB²=PB•AD．

Answer 1

分析 （1）在△DCA和△APC中，證明∠DAC=∠ACP，∠DCA=∠P，所以△DCA∽△APC，即可證明AC²=PC•AD；
（2）證明△DCA～△BPA，結(jié)合AB=DC，即可證明AB²=PB•AD．

解答 證明：（1）因為PE是以A為切點的切線，所以∠EAD=∠DAC，
又因為AD∥BC，所以∠EAD=∠P，∠DAC=∠ACP，
所以在△DCA和△APC中，∠DAC=∠ACP，∠DCA=∠P，
所以△DCA∽△APC，所以$\frac{AD}{CA}=\frac{CA}{PC}$，所以AC²=PC•AD．（5分）
（2）因為PA是切線，所以∠PAB=∠ACP，所以∠DAC=∠PAB，
又因為∠DCA=∠P，所以△DCA～△BPA，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BP}$，
又由AD∥BC，所以AB=DC，所以AB²=PB•AD．（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查圓的切線的性質(zhì)，正確證明三角形相似是關(guān)鍵．