Question

已知函數(shù)f(x)=x-4

x

+4(x≥4)的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：bn，

4	an

，3n成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）先求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式，再利用等差數(shù)列求數(shù)列{

an

}的通項，最后求出數(shù)列{a_n}的通項．
（2）據(jù)bn，

4	an

，3n成等比數(shù)列求得數(shù)列{b_n}的通項，再利用錯位相乘法求其前n項和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=x-4

x

+4=(

x

-2)2（x≥4），
∴f^-1（x）=(

x

+2)2（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，
即

an+1

-

an

=2（n∈N*）．
∴數(shù)列{

an

}是以

a1

=1為首項，公差為2的等差數(shù)列．
∴

an

=1+2(n-1)=2n-1，即a_n=（2n-1）²（n∈N*）．
（Ⅱ）∵bn ， 

4	an

， 3n成等比數(shù)列，∴

an

=bn•3n=2n-1
從而bn=

2n-1

3n

（n∈N*）．
∴S_n=b₁+b₂++b_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

++

2n-1

3n

則

1

3

Sn=

1

32

+

3

33

+

5

34

++

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

兩式相減得

2

3

Sn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

++

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

∴Sn=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查反函數(shù)的求法，以及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，還有錯位相頭減法求數(shù)列的前n項和．屬于中檔題．