Question

已知拋物線y²=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值

7

2

．

Answer 1

分析：根據拋物線的定義，將|PA|+|PF|轉化為P到A的距離與P到準線的距離之和，再根據平面幾何知識，可得當直線PA與準線垂直時這個距離之和達到最小值，由此加以計算即可得到|PA|+|PF|的最小值．

解答：解：將x=3代入拋物線方程y²=2x，得y=±

6

，
∴直線x=3交拋物線與點（3，±

6

），
由

6

＞2可得點A（3，2）在拋物線張口以內，
求得拋物線y²=2x的焦點為F（

1

2

，0），準線l：x=-

1

2

，
設拋物線上的點P到準線l的距離為d，
根據拋物線的定義，可得|PA|+|PF|=|PA|+d，
由此平面幾何知識，可得當PA⊥l時，|PA|+d最小，最小值為3-（-

1

2

）=

7

2

，
∴|PA|+|PF|的最小值等于

7

2

．
故答案為：

7

2

點評：本題給出拋物線上的動點P與定點A，求P到A點與拋物線的焦點距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．