（2012•黃山模擬）已知向量
a
=(1，cos
x
2
）與
b
=（
3
sin
x
2
+cos
x
2
，y）共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(
2π
3
-2x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由
a
與
b
共線，可得
1
3
sin
x
2
+cos
x
2
=
cos
x
2
y
，求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（x）=1，求得即sin(x+
π
6
)=
1
2
，利用二倍角公式求得cos(
2π
3
-2x) 的值．
（Ⅱ）根據(jù)條件由正弦定理得：
2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)
，求出角A的值，根據(jù)
f(B)=sin(B+
π
6
)+
1
2
，且0＜B＜
2π
3
，求得函數(shù)f（B）的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵
a
與
b
共線，∴
1
3
sin
x
2
+cos
x
2
=
cos
x
2
y
，y=
3
sin
x
2
cos
x
2
+cos2
x
2
=
3
2
sinx+
1
2
(1+cosx)=sin(x+
π
6
)+
1
2
，∴f(x)=sin(x+
π
6
)+
1
2
=1，
即sin(x+
π
6
)=
1
2
，∴cos(
2π
3
-2x)=cos2(
π
3
-x)=2cos2(
π
3
-x)-1=2sin2(x+
π
6
)-1=-
1
2
．
（Ⅱ）已知2acosC+c=2b，
由正弦定理得：
2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)
，
2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
，∴cosA=
1
2
，∴在△ABC中∠A=
π
3
，f(B)=sin(B+
π
6
)+
1
2
．∵∠A=
π
3
，∴0＜B＜
2π
3
，
π
6
＜B+
π
6
＜
5π
6
，
∴
1
2
＜sin(B+
π
6
)≤1，1＜f(B)≤
3
2
，∴函數(shù)f（B）的取值范圍為(1， 
3
2
]．
點評：本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，正弦定理，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求出函數(shù)f（x）的解析式，是解題的關(guān)鍵．
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f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2-2x+3；
③f（x）=
1
x
；
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中為恒均變函數(shù)的序號是
①②
①②
．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）

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b1
a1
+
b2
2a2
+…+
bn
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2π
3
)+sin(α+
4π
3
)=0，由此可以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
．

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